En egyptisk triangel är en rätvinklig

Den på denna plats artikeln äger källhänvisningar, dock eftersom detta saknas fotnoter existerar detta svårt för att att fatta beslut eller bestämma något vilken arbetsuppgift såsom existerar hämtad plats. () Hjälp gärna mot tillsammans för att redigera artikeln, alternativt diskutera saken vid diskussionssidan.

Pythagoras sats existerar enstaka från matematikens maximalt kända satser.

Sådana tal motsvaras av längderna på sidorna i en rätvinklig triangel eftersom de uppfyller villkoren i Pythagoras sats

i enlighet med Pythagoras sats sålunda gäller till ett rätvinklig triangels sidor för att

Kvadraten vid hypotenusan existerar lika tillsammans med summan från kvadraterna vid kateterna.

Hypotenusan existerar den längsta sidan inom ett rätvinklig triangel samt existerar motstående blad mot den räta vinkeln. Katet existerar benämningen vid plats samt enstaka från dem numeriskt värde sidor vilka bildar den räta vinkeln.

Sambandet inom Pythagoras sats kunna tecknas såsom Pythagoras ekvation:

där a, b samt c existerar sidornas längder på grund av ett rätvinklig triangel samt c existerar hypotenusans längd.

Satsens namn kommer ifrån den grekiske matematikern Pythagoras ( – ) såsom brukar tillskrivas detta inledande beviset på grund av satsen, dock satsen plats troligen redan tidigare känd inom Babylonien.

För en sådan triangel kan sidorna betecknas med 3n, 4n och 5n, där n är ett positivt heltal

Cosinussatsen

[redigera | redigera wikitext]

Pythagoras sats är kapabel ses likt en specialfall från cosinussatsen, vilken gäller till varenda trianglar.

Låt a, b samt c artikel sidolängderna hos enstaka triangel samt låt θ artikel vinkeln mellan numeriskt värde från sidorna, a samt b.

Sambandet mellan triangelns sidor samt vinkeln existerar då

Om vinkeln θ existerar lika tillsammans 90 grader existerar cos θ = 0 samt Pythagoras sats följer.

Egyptiska trianglar samt pythagoreiska tripler

[redigera | redigera wikitext]

En egyptisk triangel existerar enstaka rätvinklig triangel vars sidolängder förhåller sig mot varandra vilket talen 3, 4 samt 5.

till enstaka sådan triangel kunna sidorna betecknas tillsammans 3n, 4n samt 5n, var n existerar en positivt heltal.

i enlighet med Pythagoras sats gäller då för att

vilket visar för att satsen gäller på grund av samtliga egyptiska trianglar.

Tre positiva heltal, a, b samt c, kallas på grund av enstaka pythagoreisk trippel (a,b,c), angående a² + b² = c².

i enlighet med ett formel angiven från Euklides kunna talen inom enstaka pythagoreisk trippel bildas tillsammans med hjälp från uttrycken m² - n², 2mn samt m² + n², var m samt n existerar positiva heltal samt m > n i enlighet med

där k existerar en positivt heltal.

Exempel vid pythagoreiska tripler såsom ej svarar mot egyptiska trianglar existerar triplerna (5, 12, 13), (8, 15, 17) samt (7, 24, 25).

En egyptisk triangel är rätvinklig enligt Pythagoras sats eftersom (3k) 2 + (4k) 2 = 9k 2 + 16k 2 = 25k 2 = (5k) 2 Dock är INTE triangeln med sidor 5, 12, 13 egyptisk

Av påverkan ovan följer även för att detta finns lika flera pythagoreiska tripler såsom detta finns positiva heltal.

Bevis till Pythagoras sats

[redigera | redigera wikitext]

Det finns enstaka lärobok från E.S. Loomis tillsammans med den engelska titeln The Pythagorean Proposition vilket innehåller olika bevis på grund av Pythagoras sats.

Nedanstående foto visar enstaka kvadrat vars blad besitter längden a + b. Pythagoras sats kunna bevisas genom för att kvadraten delas inom numeriskt värde olika pussel (inom matematiken kallas detta för att partitionera kvadraten vid numeriskt värde olika sätt).

Beviset består inom för att notera för att dem numeriskt värde pusslen båda innehåller identisk blå triangel, identisk röda triangel, identisk gröna triangel samt identisk gula triangel; dem numeriskt värde rosa kvadraterna inom detta vänstra pusslet måste då tillsammans äga identisk area vilket den rosa kvadraten inom detta högra pusslet.

Alltså existerar

Pythagoras sats inom inre produktrum

[redigera | redigera wikitext]

Inom linjär algebra förmå Pythagoras sats generaliseras mot trianglar inom inre produktrum från godtycklig dimensionalitet. en inre produktrum existerar en vektorrum vilket besitter enstaka inre produkt; Den inre produkten mäter 'vinklar' mellan vektorrummets element.

Enligt Pythagoras sats gäller då att

en inre produktrum existerar även en normerat utrymme, vars norm existerar given från den inre produkten:

Normen mäter 'längden' hos vektorrummets element.

Om u samt v existerar numeriskt värde vektorer inom en inre produktrum, V, därför existerar deras summa även en element inom identisk rum:

Vektorerna u, v samt u + v bildar tillsammans ett 'triangel' inom vektorrummet V; Triangelns 'längsta' blad existerar

och dem 'kortaste' sidorna existerar

Sambandet mellan normen samt den inre produkten låter oss uttrycka normen från summan u + v i enlighet med

Med hjälp från sambanden ovan erhålls en bevis på grund av Pythagoras sats:

då den inre produkten från numeriskt värde ortogonala vektorer existerar noll.

Detta kunna även formuleras vilket

Vektorerna u samt v existerar ortogonala ifall, samt endast ifall, normerna från vektorerna u, v samt u + v existerar relaterade i enlighet med Pythagoras samband:

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Källor

[redigera | redigera wikitext]

• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York

Externa länkar

[redigera | redigera wikitext]