Differentialekvationer grad 1 och 2
Differentialekvationer
I detta på denna plats avsnittet bör oss presentera begreppet differentialekvation samt analysera hur sådana ekvationer kunna användas.
1) på ett intervall I är en funktion y(x) som är n gånger deriverbar på I (y ∈ C n (I)) och sådan att y (n) (x) = f(x, y(x), y 0 (x),, y (n−1) (x))Differentialekvationer existerar många flitigt nyttja då detta kommer mot beskrivning från matematiska modeller inom fysiken, vilket utför studiet från differentialekvationer intressant till flera olika tillämpningsområden.
Formulering från enstaka lätt differentialekvation
En differentialekvation existerar ett ekvation liksom anger sambandet mellan enstaka okänd funktion samt ett alternativt flera från denna funktions derivator.
Ett enkelt modell vid en samband likt kunna beskrivas tillsammans med hjälp från ett differentialekvation existerar förändringshastigheten vad gäller antalet bakterier inom enstaka bakterieodling.
eftersom bakterier förökar sig genom celldelning, vilken sker tillsammans med enstaka viss hastighet, förmå förändringshastigheten nära enstaka tidpunkt t anses existera proportionell mot antalet bakterier nära tidpunkten t.
Detta fullfölja för att oss är kapabel formulera nästa differentialekvation, såsom beskriver situationen:
$$y\,'(t)=k\cdot y(t)$$
där y'(t) betecknar förändringshastigheten avseende antal bakterier nära tidpunkten t, samt y(t) betecknar antalet bakterier nära tidpunkten t, samt k existerar ett proportionalitetskonstant.
Verifiering från ett differentialekvations lösning
Lösningen mot enstaka differentialekvation existerar ett funktion såsom möter den likhet såsom ekvationen uttrycker, detta önskar yttra enstaka funktion vilket utför för att differentialekvationens vänstra led blir lika tillsammans dess högra led.
Lösningen utgör alltså ej en anförande, vilket inom den typ från ekvationer såsom oss besitter stött vid tidigare, utan istället ett funktion.
I vårt tidigare modell tillsammans med bakterieodlingen innebär enstaka svar mot ekvationen för att oss hittat en formulering till funktionen y(t) likt utför för att ekvationens båda led blir lika (VL = HL).
Eftersom detta inom detta modell gäller för att den sökta funktionens derivata bör existera proportionell mot funktionen egen, söker oss ett typ från funktion liksom äger just den egenskapen.
enstaka sådan funktion äger oss stött vid tidigare, nämligen exponentialfunktioner. oss kommer därför för att behärska nedteckna lösningen vid denna differentialekvation som
$$y(t)=C\cdot {e}^{kt}$$
där C existerar ett konstant vilket anger antalet bakterier nära tidpunkten t = 0, samt k existerar proportionalitetskonstanten.
Att denna funktion existerar enstaka svar mot vår formulerade differentialekvation förmå oss titta genom för att oss deriverar funktionen tillsammans med hjälp från våra redan kända deriveringsregler på grund av exponentialfunktioner, vilket ger oss nästa derivata:
$$y\,'(t)=k\cdot C\cdot {e}^{kt}$$
Sätter oss in uttrycken till funktionen samt funktionens derivata inom vår differentialekvation, sålunda får vi
$$y\,'(t)=k\cdot y(t)$$
$$k\cdot C\cdot {e}^{kt}=k\cdot (C\cdot {e}^{kt})$$
Eftersom ekvationens vänstra led idag existerar lika tillsammans dess högra led äger oss hittat enstaka svar mot differentialekvationen.
Vi existerar intresserade från för att beräkna förändringshastigheten räknat inom antal bakterier per 60 minuter inom vårt tidigare modell nära enstaka viss tidpunkt, säga t = 10 timmar efter experimentets början.
Om oss vet för att antalet bakterier nära experimentets start (t = 0 timmar) plats 1000 st.
samt för att tillväxten plats 10 % per 60 minuter, då får oss nästa differentialekvation:
$$y\,'(t)=0,10\cdot y(t)$$
Utifrån för att oss besitter sett för att enstaka svar vid differentialekvationen bör äga formen
$$y(t)=C\cdot {e}^{kt}$$
vet oss för att k = 0,10 (proportionalitetskonstanten) samt C = 1000 (antalet bakterier nära experimentets början).
Därför måste funktionen vara
$$y(t)=1000\cdot {e}^{0,10t}$$
Detta ger oss förändringshastigheten
$$y\,'(t)=0,10\cdot y(t)=$$
$$=0,10\cdot (1000\cdot {e}^{0,10t})=$$
$$=100\cdot e^{0,10t}$$
Förändringshastigheten nära tiden t = 10 timmar blir då
$$y\,'(10)=100\cdot e^{0,10\cdot 10}=$$
$$=100\cdot {e}^1=100e\approx270$$
Vid tidpunkten t = 10 timmar ökar alltså antalet bakterier inom bakterieodlingen tillsammans med ungefär 270 bakterier per timme.
Differentialekvationers ordning
I exemplet ovan, var oss formulerade ett differentialekvation vilket uttryckte förändringshastigheten till antalet bakterier inom ett bakterieodling, plats förstaderivatan (y'(t)) den högsta ordningens derivata likt förekom inom differentialekvationen.
Därför plats även differentialekvationen från första ordningen.
Har oss istället ett differentialekvation likt innehåller enstaka funktions andraderivata, då existerar detta enstaka differentialekvation från andra ordningen. en modell vid ett sådan differentialsekvation från andra ordningen existerar följande:
$$y\,''(x)-4y\,'(x)+4y(x)=0$$
På identisk sätt vilket på grund av differentialekvationer från inledande ordningen, förmå oss testa angående ett svar satisfierar enstaka differentialekvation från andra ordningen genom för att oss kalkylerar funktionens första- samt andraderivata samt sedan genom placering av pengar undersöker angående VL = HL.
Vi tittar vid en exempel
Vi äger nästa differentialekvation från andra ordningen:
$$y\,''(x)-4y\,'(x)+4y(x)=0$$
Undersök ifall nästa funktion existerar ett svar mot denna differentialekvation:
$$y(x)=10\cdot {e}^{2x}$$
För för att undersöka ifall den givna funktionen existerar ett svar, behöver oss ursprunglig beräkna dess första- samt andraderivata, vilka oss kalkylerar tillsammans dem redan kända deriveringsreglerna till exponentialfunktioner.
$$y\,'(x)=2\cdot 10\cdot {e}^{2x}=20\cdot {e}^{2x}$$
$$y\,''(x)=2\cdot 20\cdot {e}^{2x}=40\cdot {e}^{2x}$$
När oss idag känner mot funktionens första- samt andraderivata, sätter oss in dessa inom differentialekvationens vänstra led (VL):
$$40\cdot {e}^{2x}-4\cdot (20\cdot {e}^{2x})+4\cdot (10\cdot {e}^{2x})=$$
$$=40\cdot {e}^{2x}-80\cdot {e}^{2x}+40\cdot {e}^{2x}=0$$
Nu förmå oss titta för att VL = HL inom differentialekvationen, därför den givna funktionen existerar alltså enstaka lösning.
Bestäm värdet vid k sålunda att \(y={e}^{kt}\) är ett svar mot differentialekvationen \(y\,''+2y\,'-3y=0\)
För för att besluta tänkbara värden vid k börjar oss tillsammans med för att beräkna första- samt andraderivatan från vår givna funktion.
Därefter förmå oss sätta in våra funna första- samt andraderivata inom differentialekvationen samt därefter avgöra k.
Vi får
$$y\,'(t)=k\cdot {e}^{kt}$$
$$y\,''(t)=k\cdot k\cdot {e}^{kt}={k}^{2}\cdot {e}^{kt}$$
Sätter oss in dessa formulering inom differentialekvationen därför får vi
$${k}^{2}\cdot {e}^{kt}+2\cdot (k\cdot {e}^{kt})-3\cdot ({e}^{kt})=$$
$$={k}^{2}\cdot {e}^{kt}+2k\cdot {e}^{kt}-3\cdot {e}^{kt}=$$
$$=({k}^{2}+2k-3)\cdot {e}^{kt}=0$$
Nu är kapabel oss nyttja nollproduktsmetoden på grund av för att hitta värden vid konstanten k.
För för att differentialekvationens vänsterled bör existera lika tillsammans med dess högerled, detta önskar yttra lika tillsammans noll, måste antingen
$${k}^{2}+2k-3=0$$
eller
$${e}^{kt}=0$$
En potens tillsammans basen e förmå ej anta värdet 0, sålunda oss fokuserar istället vid den andragradsekvation likt oss formulerade från k-termerna.
Denna andragradsekvation är kapabel oss åtgärda tillsammans med pq-formeln, vilket ger oss
$$k_1=-3 $$
$$k_2=1$$
Differentialekvationen äger alltså lösningarna
$$y(t)={e}^{-3t}$$
$$y(t)={e}^{t}$$
Leibniz notation
Hittills besitter oss mot modell skrivit \(y^{\prime} (x)\) då oss menar förstaderivatan från funktionen \(y = f(x)\), \(y^{\prime \prime}(x)\) då oss menar andraderivatan, samt därför vidare.
Denna notation vad gäller derivator kallas Lagranges notation, döpt efter den franske matematikern Comte namn Louis Lagrange
Ofta då oss besitter för att utföra tillsammans med differentialekvationer använder oss sig emellertid från enstaka ytterligare notation till derivator, kallad Leibniz notation, döpt efter tyska filosofen samt matematikern Gottfried Wilhelm Leibniz.
då oss avser första- respektive andraderivatan äger oss nästa sätt för att notera tillsammans hjälp från Lagranges notation samt Leibniz notation:
$$y'(x)=\frac{dy}{dx}$$
$$y''(x)=\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$$
Nedan besitter oss en modell, var oss äger skrivit identisk differentialekvationer från andra ordningen dels tillsammans Lagrange notation samt dels tillsammans Leibniz notation:
$$y''+3y'+5y=0$$
$$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}+3\frac{dy}{dx}+5y=0$$
Att nyttja Leibniz notation förmå uppfattas vilket mer omständigt än Lagrange notation, dock den är kapabel ändå underlätta vissa beräkningar samt existerar således vanligt förekommande för att man bör anpassa sig nära denna notation.